Question

在直角坐標系中，拋物線y=x²-2mx+n+1的頂點為A，與y軸交于點B，拋物線上的一點C的橫坐標為1，且AC=3

10

．
（1）用配方法把解析式y=x²-2mx+n+1化成y=a（x-h）²+k的形式；用含m、n的代數式表示頂點A的坐標；
（2）如果頂點A在x軸負半軸上，求此拋物線的函數關系式；
（3）在（2）中的拋物線上有一點D，使得直線DB經過第一、二、四象限，
交x軸于點F，且原點O到直線DB的距離為

8

5

5

，求這時點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）把拋物線利用配方法變為頂點形式，即可找出頂點A的坐標；
（2）過C作CE垂直于x軸，由點C的橫坐標為1，把x=1代入拋物線解析式表示出C的縱坐標，且縱坐標大于0，即為CE的長，同時得到OE等于C的橫坐標，由拋物線A在x軸負半軸上，得到A的橫坐標小于0，縱坐標等于0，表示出A的坐標，同時根據縱坐標為0列出m與n的關系式，記作①，根據OA與OE的和表示出AE，且由AC及CE的長，在直角三角形ACE中，利用勾股定理列出m與n的另一個關系式，記作②，把①代入②消去n得到關于m的方程，求出方程的解得到m的值，把m的值代入①求出n的值，即可確定出拋物線的解析式；
（3）由直線DB過第一、二、四象限設直線DB與x軸正半軸交于F，過O作OM垂直于直線DB，由已知O到直線DB的距離得到OM的長，根據（2）求出的拋物線解析式，令x=0求出y的值，確定出B的坐標，即可得到OB的長，在直角三角形OBM中，由OB及OM的長，利用勾股定理求出BM的長，由OB⊥OF，OM⊥BF，根據同角的余角相等得到一對銳角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形BOM與三角形MOF相似，根據相似得比例，由MB和OM的長即可得到OF=2OB，即可求出OF的長，得到F的坐標，設出直線BF的解析式為y=kx+b，把B和F坐標代入確定出k與b的值，從而得到直線FB的方程，把拋物線解析式與直線FB聯立，即可求出交點D的坐標．

解答：解：（1）配方得：y=（x-m）²+（-m²+n+1），
所以頂點A（m，-m²+n+1）；

（2）根據題意，如圖所示，過點C作CE⊥x軸交于點E，
∵拋物線上一點C的橫左邊為1，且AC=3

10

，
∴C（1，n-2m+2），其中n-2m+2＞0，OE=1，CE=n-2m+2，
∵拋物線的頂點在x軸的負半軸上，
∴A（m，0），n=m²-1①，
其中m＜0，OA=-m，則AE=OE+OA=1-m，
在Rt△ACE中，根據勾股定理得：AE²+CE²=AC²，
即（1-m）²+（n-2m+2）²=（3

10

）²②，
把①代入②得：（m²-2m+1）²+（m²-2m+1）-90=0，
∴（m²-2m+11）（m²-2m-8）=0，
∴m²-2m+11=0或m²-2m-8=0，
方程m²-2m+11=0，∵△=b²-4ac=4-44=-40＜0，∴方程無解；
方程m²-2m-8=0，分解因式得：（m-4）（m+2）=0，解得：m₁=4，m₂=-2，
∵m＜0，∴m=-2，
把m=-2代入①得：n=4-1=3，
∴拋物線解析式為y=x²+4x+4；

（3）∵直線DB經過第一、二、四象限，
設直線DB交x軸正半軸于點F，過點O作OM⊥DB于點M，
∵點O到直線DB的距離為

8 5

5

，∴OM=

8 5

5

，
∵拋物線y=x²+4x+4與y軸交于點B，∴B（0，4），∴OB=4，
在Rt△OBM中，根據勾股定理得：BM=

OB2-OM2

=

42-( 8 5 5 )2

=

4 5

5

，
∵OB⊥OF，OM⊥BF，
∴∠OBM+∠BOM=90°，∠OBM+∠BFO=90°，
∴∠BOM=∠BFO，又∠OMB=∠OMF=90°，
∴△OBM∽△FOM，
∴

OB

MB

=

FO

MO

，即

OB

4 5 5

=

FO

8 5 5

，
∴OF=2BO=8，∴F（8，0），
設直線FB的方程為y=kx+b，
把F和B的坐標代入得：

b=4 8k+b=0

，解得

k=- 1 2 b=4

，
∴直線BF解析式為y=-

1

2

x+4，
∵點D既在拋物線上，又在直線BF上，
∴

y=x2+4x+4 y=- 1 2 x+4

，解得：

x1=- 9 2 y1= 25 4

或

x2=0 y2=4

，
∵BD為直線，∴點D與點B不重合，
∴點D的坐標為（-

9

2

，

25

4

）．

點評：此題是一道二次函數的綜合題，涉及的知識有相似三角形的判定與性質，勾股定理，直線與拋物線的交點坐標，一元二次方程的解法，一次函數的性質等，要求學生全面掌握所學知識，把所學知識融會貫通，利用數形結合的思想解決問題，作為壓軸題，能有效地考查學生的理解能力，分析能力，對數學知識和數學方法的駕馭能力．