Question

【題目】某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系．

（1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式；

（2）王師傅在噴水池內維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內？

（3）經檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請探究擴建改造后噴水池水柱的最大高度．

Answer 1

【答案】（1）水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）；（2）為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內；（3）擴建改造后噴水池水柱的最大高度為米．

【解析】

（1）根據頂點坐標可設二次函數的頂點式，代入點（8，0），求出a值，此題得解；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征，求出當y=1.8時x的值，由此即可得出結論；

（3）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出拋物線與y軸的交點坐標，由拋物線的形狀不變可設改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣x2+bx+，代入點（16，0）可求出b值，再利用配方法將二次函數表達式變形為頂點式，即可得出結論．

（1）設水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=a（x﹣3）2+5（a≠0），

將（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣，

∴水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．

（2）當y=1.8時，有﹣（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，

∴為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內．

（3）當x=0時，y=﹣（x﹣3）2+5=．

設改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣x2+bx+．

∵該函數圖象過點（16，0），

∴0=﹣×162+16b+，解得：b=3，

∴改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣x2+3x+=﹣（x﹣）2+，

∴擴建改造后噴水池水柱的最大高度為米．