Question

【題目】如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD

（1）若AB=9，CD=4，BD=10，請(qǐng)問在BD上是否存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）若AB=9，CD=4，BD=12，請(qǐng)問在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？并求BP的長；

（3）若AB=9，CD=4，BD=15，請(qǐng)問在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？并求BP的長；

（4）若AB=m，CD=n，BD=l，請(qǐng)問m，n，l滿足什么關(guān)系時(shí)，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個(gè)P點(diǎn)？兩個(gè)P點(diǎn)？三個(gè)P點(diǎn)？

Answer 1

【答案】解：（1）存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。

理由是：設(shè)BP=x，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。

∴當(dāng)或時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。

①若，則，解得：x=。

②若，則，即x2﹣10x+36=0，△=（﹣10）2﹣4×1×36＜0，此方程無解。

∴存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，此時(shí)BP的值為。

（2）在BD上存在2個(gè)P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，

理由是：設(shè)BP=x，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。

∴當(dāng)或時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。

①若，則，解得：x=。

②若，則，即x2﹣12x+36=0，解得：x1=x2=6。

∴存在2個(gè)點(diǎn)P，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，此時(shí)BP的值為或6。

（3）在BD上存在3個(gè)P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。

理由是：設(shè)BP=x，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。

∴當(dāng)或時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。

①若，則，解得：x=。

②若，則，即x2﹣15x+36=0，解得：x1=3，x2=12。

∴存在3個(gè)點(diǎn)P ，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，此時(shí)BP的值為或3或12。

（4）設(shè)BP=x，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。

∴當(dāng)或時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。

①若，則，解得：x=。

②若，則，即x2﹣lx+mn=0。

∵△=（﹣l）2﹣4×1×mn=l2﹣4mn，

∴當(dāng)l2﹣4mn＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)l2﹣4mn=0時(shí)，方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)l2﹣4mn＞0時(shí)，方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

∴當(dāng)l2﹣4mn＜0時(shí)，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個(gè)P點(diǎn)；

當(dāng)l2﹣4mn=0時(shí)，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的兩個(gè)P點(diǎn)；

當(dāng)l2﹣4mn＞0時(shí)，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的三個(gè)P點(diǎn)。

【解析】

（1）存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，代入求出即可。

（2）存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，代入求出即可。

（3）存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，代入求出即可。

（4）存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)或時(shí)使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，代入后根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可。