Question

（2012•鎮江二模）如果一個點能與另外兩個點構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．例如：矩形ABCD中，點C與A，B兩點可構成直角三角形ABC，則稱點C為A，B兩點的勾股點．同樣，點D也是A，B兩點的勾股點．
（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，請在邊AB上作出C，D兩點的所有勾股點（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）如圖2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．動點P從D點出發沿著DC方向以1cm/s的速度向右移動，過點P的直線l平行于BC，當點P運動到點M時停止運動．設運動時間為t（s），點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上．
①當t=4、t=5時，直接寫出點H的個數．
②探究滿足條件的點H的個數（直接寫出點H的個數及相應t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

分析：（1）以CD為直徑作圓O，與AB的交點就是C、D的勾股點．
（2）①當t=4或t=5時，分別作出圖形，當∠MHN=90°時，當∠H''NM=90°時，當∠H'MN=90°時在l上的勾股點分別為個或2個；
②利用①的結果可以探究滿足條件的點H的個數及相應t的取值范圍．

解答：解：（1）如圖1，尺規作圖正確（以線段CD為直徑的圓與線段AB的交點）；


（2）①如圖2，當t=4時，當∠MHN=90°時，當∠H''NM=90°時，當∠H'MN=90°時，有3個勾股點H，H′，H″；

如圖3，當t=5時，當∠MHN=90°時，當∠H′MN=90°時，有2個勾股點H，H′；
      
②如圖4，當0≤t＜4時，有2個勾股點；

如圖5，當t=4時，有3個勾股點；

如圖6，當4＜t＜5時，有4個勾股點；

如圖7，當t=5時，有2個勾股點；

如圖8，當5＜t＜8時，有4個勾股點；

如圖9，當t=8時，有2個勾股點．
                                     
綜上所述，當0≤t＜4或t=5或t=8時，有2個勾股點；當t=4時，有3個勾股點；當4＜t＜5或5＜t＜8時，有4個勾股點．

點評：此題比較復雜，難度很大，綜合性比較強，是一個探究性試題，利用了直角三角形的性質、勾股定理、相似三角形的性質、等多個知識點，對于學生是能力要求很高，解題關鍵是正確理解題目所給材料，然后充分利用材料解題．