Question

(10分)
(1)計算:如圖10①,直徑為的三等圓⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，切點分別為A、B、C ，求OA的長（用含的代數式表示）.

②

③

①

圖10

（2）探索:若干個直徑為的圓圈分別按如圖10②所示的方案一和如圖10③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中層圓圈的高度和（用含、的代數式表示）.
（3）應用:現有長方體集裝箱，其內空長為5米，寬為3.1米，高為3.1米.用這樣的集裝箱裝運長為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形鋼管，你認為采用（2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運鋼管數最多？并求出一個這樣的集裝箱最多能裝運多少根鋼管？（≈1.73）

Answer 1

（1）OA= =
（2）  =
（3）1068

解(1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，
∴OO=OO=OO=a
又∵OA= OA
∴OA⊥OO          ………………………………………………1分
∴OA=
=             ……………………………………………3分
（2） =                        ………………………4分
=，              ………………………6分
方案二裝運鋼管最多。即：按圖10③的方式排放鋼管，放置根數最多.
根據題意，第一層排放31根，第二層排放30根，……
設鋼管的放置層數為n,可得………………………8分
解得     
∵ 為正整數     ∴=35
鋼管放置的最多根數為：31×18+30×17=1068（根）…………………………10分