Question

（2012•閔行區(qū)三模）已知：如圖，AB為⊙O的弦，OD⊥AB，垂足為點D，DO的延長線交⊙O于點C．過點C作CE⊥AO，分別與AB、AO的延長線相交于E、F兩點．CD=8，sin∠A=

3

5

．
求：（1）弦AB的長；
（2）△CDE的面積．

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)⊙O的半徑OA=r，那么OD=8-r．由OD⊥AB，得∠ADO=90°．于是由在Rt△AOD中，sin∠A=

OD

OA

=

3

5

，可得

8-r

r

=

3

5

．繼而求得r的長，然后由垂徑定理，求得弦AB的長；
（2）易證得△AOD∽△CED，然后由相似三角形面積的比等于相似比的平方，求得△CDE的面積．

解答：解：（1）設(shè)⊙O的半徑OA=r，
則OD=CD-OC=8-r．
∵OD⊥AB，
∴∠ADO=90°．
∵在Rt△AOD中，sin∠A=

OD

OA

=

3

5

．
∴

8-r

r

=

3

5

．
解得：r=5，
∴OA=5，OD=3．
利用勾股定理，得：AD=

OA2-OD2

=4，
∵OD⊥AB，O為圓心，
∴AB=2AD=8；

（2）∵CE⊥AO，
∴∠AFE=∠CDE=90°．
∴∠A+∠E=90°，∠C+∠E=90°，
∴∠A=∠C，
又∵∠ADO=∠CDE=90°，
∴△AOD∽△CED．
∴

S△AOD

S△CDE

=

AD2

CD2

=

1

4

，
∵S_△ACD=

1

2

AD•OD=

1

2

×4×3=6，
∴S_△CDE=4S_△ACD=24．

點評：此題考查了垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．