Question

【題目】如圖，中，，以為邊在外作等邊三角形，過點作的垂線，垂足為，與相交于點，連接.

（1）說明：；

（2）若，，是直線上的一點.則當在何處時，最小，并求此時的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點P在點E處時PB+PC最小，最小值為12cm.

【解析】

（1）根據等邊三角形“三合一”的性質證得DE垂直平分AC；然后由垂直平分線的性質可得AE=CE，根據等邊對等角、直角三角形的兩個銳角互余的性質以及等量代換求得∠BCE=∠B；最后根據等角對等邊證得CE=BE，可得AE=CE=BE；（2）由DA⊥AB可得∠BAC=30°，可求出AB的長，由（1）知，DE垂直平分AC，故PC=PA；由等量代換知PB+PC=PB+PA；根據兩點之間線段最短可知，當點P、B、A在同一直線上最小，所以點P在E處時最小．

∵DF⊥AC，△ACD是等邊三角形，

∴DF垂直平分AC，

∴AE=CE，

∴∠ACE=∠CAE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°，

∴∠BCE=∠B，

∴CE=BE，

∴AE=CE=BE；

（2）∵DA⊥AB，∠DAC=60°，

∴∠BAC=30°，

∵∠ACB=90°，BC=6，

∴AB=2BC=12，

由（1）知，DE垂直平分AC，

∴PC=PA，

∴PB+PC=PB+PA；

∴當PB+PC最小時，即PB+PA最小，

∵點P、B、A在同一直線上時，PB+PA最小，

∴點P在點E處時PB+PA最小．即PB+PC最小，

當點P在E處時，PB+PC=BE+CE=BE+AE=AB=12cm．