Question

【題目】（操作體驗）

如圖①，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規在l上作出所有的點P，使得∠APB＝30°．

如圖②，小明的作圖方法如下：

第一步：分別以點A、B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點O；

第二步：連接OA、OB；

第三步：以O為圓心，OA長為半徑作⊙O，交l于P1，P2．

所以圖中P1，P2即為所求的點．

（1） 在圖②中，連接P1A，P1 B，說明∠A P1B＝30°；

（方法遷移）

（2）如圖③，用直尺和圓規在矩形ABCD內作出所有的點P，使得∠BPC＝45°．

（不寫作法，保留作圖痕跡）

（深入探究）

（3）已知矩形ABCD，BC＝2，AB＝m，P為AD邊上的點，若滿足∠BPC＝45°的點P恰有兩個，則m的取值范圍為 ．

（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P為矩形ABCD內一點，且∠BPC＝135°，若點P繞點A逆時針旋轉90°到點Q，則PQ的最小值為 ．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）詳見解析；（3）2≤m＜＋1；（4）―2.

【解析】

（1）根據作圖可知OA＝OB＝AB，得到△OAB是等邊三角形，根據等邊三角形的性質有∠AOB＝60°，根據圓周角定理即可求解.

（2）第一步：分別以點B、C為圓心，以大于BC長為半徑作弧，作出BC的垂直平分線，與BC交于點H,

第二步：以點H為圓心，以HB長為半徑作圓,與BC的垂直平分線交于點O;

第三步：以O為圓心，OB長為半徑作⊙O，交AB交于點E,與CD交于點F, 弧上所有的點即為所求的點（不含點E、F）．

（3）當時，滿足∠BPC＝45°的點P恰有兩個，再求出滿足∠BPC＝45°的點P變為1個時的臨界值,即可求解.

（4）按照（2）的作圖步驟，則點P在以劣弧BC上（不包含點B,C）,根據等腰直角三角形的性質可得當AP最小時，PQ取得最小值，當點A,P,O在同一條直線上時，AP最小，即圖中的AE，求出AE，即可求解.

（1）解：由作法可知：OA＝OB＝AB，

∴△OAB是等邊三角形，

∴∠AOB＝60°．

∴∠AP1B＝30°．

（2）如圖，弧上所有的點即為所求的點（不含點E、F）．

（3）如圖：只要即可，

當時，滿足∠BPC＝45°的點P恰有兩個，

滿足∠BPC＝45°的點P變為1個時,即到GH的位置時，

過點作于點M,

此時：

則的取值范圍是：

故答案為：

（4）按照（2）的作圖步驟，則點P在以劣弧BC上（不包含點B,C）,如圖，

當AP最小時，PQ取得最小值，當點A,P,O在同一條直線上時，AP最小，即圖中的AE，

故答案為：