Question

某廠設計了一款成本為20元∕件的公益用品投放市場進行試銷．經過調查，得到如下數據：

銷售單價x（元∕件）	…	30	40	50	60	…
每天銷售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）認真分析上表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據的y與x的函數關系，并求出函數關系式．
（2）當銷售單價定為多少時，該廠試銷該公益品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價-成本總價）
（3）當地民政部門規定，若該廠銷售此公益品單價不低于成本價且不超過46元/件時，該廠每銷售一件此公益品，國家就補貼該廠a元利潤（a＞4），公司通過銷售記錄發現，日銷售利潤隨銷售單價的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

解：設y與x之間的函數關系式為y=kx+b，根據統計表，得
，
解得：，
故函數關系式是y=-10x+800；

（2）設工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得
W=（x-20）（-10x+800）
=-10x²+1000x-16000
=-10（x-50）²+9000
則當x=50時，W有最大值9000．
故當銷售單價定為50元∕件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元．

（3）設總利潤為m元，則每件工藝用品的利潤為（x-20+a）元，由題意，得
M=（-10x+800）（x-20+a），
=-10x2+10（100-a）x-16000+800a，
=-10（x-50+a）²+（100-a）²-16000+800a，
∵a=-10＜0，
∴拋物線的開口向下，在對稱軸的左側M隨x的增大而增大．
∴x=50-a時，M有最大值．
∵日銷售利潤M隨銷售單價x的增大而增大，且x≤46，
∴50-a≥46，
∴a≤8．
∵a＞4，
∴4＜a≤8．
分析：（1）直接運用待定系數法根據統計表的數據就可以求出y與x之間的函數關系式；
（2）設工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，先表示出每件的利潤為（x-20），再根據總利潤=銷售總價-成本總價建立等式即可得出結論；
（3）設總利潤為m元，根據條件可以得出每件工藝用品的利潤為（x-20+a）元，再根據總利潤=銷售總價-成本總價建立函數關系式即可．
點評：本題考查了運用待定系數法求一次函數的解析式的運用，二次函數的頂點式的運用，不等式的解法和運用，解答時建立二次函數的解析式，根據二次函數的解析式求解是關鍵．