Question

【題目】如圖，在⊙O上依次有A、B、C三點，BO的延長線交⊙O于E，，過點C作CD∥AB交BE的延長線于D，AD交⊙O于點F．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）連接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）先根據圓的性質得：∠CBD=∠ABD，由平行線的性質得：∠ABD=∠CDB，根據直徑和等式的性質得：，，由一組對邊平行且相等可得四邊形ABCD是平行四邊形，由AB=BC可得結論；
（2）先設∠FOE=x，則∠AOF=3x，根據∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+ （180-3x）=180，求出x的值，接著求所對的圓心角和半徑的長，根據弧長公式可得結論．

（1）證明：∵，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵CD∥AB，

∴∠ABD＝∠CDB，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴CB＝CD，

∵BE是⊙O的直徑，

∴，

∴AB＝BC＝CD，

∵CD∥AB，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）∵∠AOF＝3∠FOE，

設∠FOE＝x，則∠AOF＝3x，

∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝2x，

∴∠ABC＝4x，

∵BC∥AD，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，

x＝20°，

∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，

∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，

∵OA＝OF，

∴△AOF是等邊三角形，

∴OF＝AF＝3，

∴的長＝＝．