Question

（2010•大連二模）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，點D是弧BC的中點，連接AD，交BC于點F．
（1）過點D作DE∥BC，交AC的延長線于點E，判斷DE是否是⊙O的切線，并說明理由；
（2）若CD=6，AC：AF=4：5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD、BD，先由OA=OD，可得∠OAD=∠ODA，而D是弧BC的中點，那么弧CD=弧BD，利用同圓中相等的弧所對的圓周角相等，可得∠BAD=∠CAD，從而∠ODA=∠CAD，利用內錯角相等兩直線平行，可知OD∥AC，再利用平行線的性質有∠AED+∠ODE=180°，由于AB是直徑，就有∠ACB=90°，而BC∥DE，那么∠AED=∠ACB=90°，代入∠AED+∠ODE=180°中，可求∠ODE=90°，即DE是⊙O的切線；
（2）由于AB是直徑，那么∠ADB=∠ACB=90°，由（1）可知∠CAD=∠BAD，所以就有△ACF≌△ADB，可得比例線段AD：AB=AC：AF=4：5，于是有cos∠BAD=，可求sin∠BAD=，而sin∠BAD=BD：AB，又BD=CD=6，于是可求AB=10，則半徑=5．
解答：解：（1）DE是⊙O的切線．（說明：結論（1分），但不重復得分）
證明：連接OD、BD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，（1分）
∵點D是弧BC的中點，
∴弧DC=弧BD，
∴∠CAD=∠OAD，（2分）
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，（3分）
∴∠ODE+∠AED=180°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，（4分）
又∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，（5分）
∴DE是⊙O的切線．（6分）

（2）∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°（7分）
由（1）知，∠CAD=∠BAD，
∴△ACF∽△ADB，（8分）
∴，
∴，
∴，
又∵，BD=CD=6，
∴AB=10，（9分）
∵AB是⊙O直徑，
∴⊙O的半徑為5．（10分）
點評：本題主要考查了同圓中相等的弧所對的圓周角相等、平行線的判定和性質、切線的判定、直徑所對的圓周角等于90°、相似三角形的判定和性質、三角函數值．