Question

【題目】如果把一個奇數位的自然數各數為上的數字從最高位到個位依次排列，與從個位到最高位依次排列出的一串數字完全相同，相鄰兩個數位上的數字之差的絕對值相等（不等于0），且該數正中間的數字與其余數字均不同，我們把這樣的自然數稱為“階梯數”，例如自然數12321，從最高位到個位依次排出的一串數字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串數字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3﹣2|=|2﹣1|=1，因此12321是一個“階梯數”，又如262，85258，…，都是“階梯數”，若一個“階梯數”t從左數到右，奇數位上的數字之和為M，偶數位上的數字之和為N，記P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N．
（1）已知一個三位“階梯數”t，其中P（t）=12，且Q（t）為一個完全平方數，求這個三位數；
（2）已知一個五位“階梯數”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求該五位“階梯數”t的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設“階梯數”t的百位為x，相鄰兩數的差為k，則t= ，

∴M=a+a=2a，N=a+k，

∴P（t）=2N﹣M=2（a+k）﹣2a=2k=12，

∴k=6，

∵Q（t）=M+N=2a+a+k=3a+6為一個完全平方數，其中1≤a≤9，

∴9≤3a+6≤33，

∴3a+6=9，16，25，

∴a=1，

∴t=171；

（2）解：設某五位階梯數為 ，

∵ = =2778a+302k+ ，

∴2k﹣a是4的倍數，

∵M=3a+2k，N=2A+2K，

∴Q（t）=M+N=5a+4k，

∴ =k+a+ ，

∴a﹣2是4的倍數，

∵1≤a≤9，

∴﹣1≤a﹣2≤7，

∴a﹣2=0，4，

∴a=2，6

當a=2時， 為整數且0≤2+2k≤9，

∴﹣1≤k≤ ，

∴k=±1，3，

所以t=21012，23432，25852；

當a=6時， 為整數且0≤6+2k≤9，

∴﹣3≤k≤ ，

∴k=±1，﹣3，

所以t=63036，65456，67876．

所以該五位“階梯數”t的最大值是67876，最小值是21012．

【解析】（1）設“階梯數”t的百位為x，相鄰兩數的差為k，則t= a ( a + k ) a ，可得M=a+a=2a，N=a+k，根據P（t）=12，得到關于k的方程，可求得k=6，再根據Q（t）=3a+6為一個完全平方數，其中1≤a≤9，可求3a+6=9，16，25，可求a=1,從而得到這個三位數；
（2）設某五位階梯數為 a ( a + k ) ( a + 2 k ) ( a + k ) a ，根據 = =2778a+302k+ ，可得2k﹣a是4的倍數，根據M=3a+2k，N=2A+2K，可得Q（t）=M+N=5a+4k，則=k+a+,可得a﹣2是4的倍數，根據完全平方數的定義得到a=2，6，再分兩種情況求出T的值，進一步得到該五位“階梯數”t的最大值和最小值。