Question

（2013•廈門質檢）已知拋物線y=x²-2bx+c（c＞0）與y軸的交點為A，頂點為M（m，n）．
（1）若c=2b-1，點M在x軸上，求c的值．
（2）若直線y=-

1

2

x+t過點A，且與x軸交點為B，直線和拋物線的另一交點為P，且P為線段AB的中點．當n取得最大值時，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）將c的值代入拋物線，確定拋物線的頂點坐標，再由點M在x軸上，可得關于b的方程，解出可得出b的值，繼而得出c的值；
（2）過P作PD⊥x軸，根據直線解析式確定點B的坐標，聯立拋物線與直線解析式求出交點坐標，由P為AB中點，可得

BD

OD

=1，從而得出c的值，用含b的式子表示出拋物線解析式，表示出n的值，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）把c=2b-1代入y=x²-2bx+c得：y=x²-2bx+2b-1，
∴M（m，n）的坐標為M(b，

8b-4-4b2

4

)，
∵M在x軸上，
∴

8b-4-4b2

4

=0，即b²-2b+1=0，
解得：b=1，
∴c=2b-1=1．

（2）過P作PD⊥x軸，
∵A（0，c），
∴y=-

1

2

x+c，
∴B（2c，0），
∴x2-2bx+c=-

1

2

x+c，即x2=2bx-

1

2

x，
解得：x1=0，x2=2b-

1

2

，
∵PD∥AD，
∴

BP

AP

=

BD

OD

，
∵P為AB中點，
∴

BD

OD

=1，
∴OD=c，
∴c=2b-

1

2

，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2bx+2b-

1

2

，
∴n=

4ac-b2

4a

=

8b-2-4b2

4

=-(b2-2b)-

1

2

=-(b-1)2+

1

2

，
∵-1＜0，
∴二次函數開口向下，存在最大值，
∴當b=1時，n的最大值為

1

2

，
∴c=

3

2

，
∴y=x2-2x+

3

2

．

點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了二次函數的頂點坐標公式、配方法求二次函數最值，解答本題關鍵是熟練運用等量代換的運用，難度較大，同學們注意培養自己解答綜合題的能力．