Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=與直線y=﹣x﹣交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，直線y=﹣x﹣與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、C，點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在直線y=﹣x﹣上方，求△PAC的最大面積；

（3）設(shè)M是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A、B、P、M為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）當(dāng)m=時，取最大值，最大值為；（3）能，點(diǎn)P（﹣4，）或（2，）．

【解析】

試題分析：（1）將x=4代入直線y=﹣x﹣中求出y值，即可得出點(diǎn)B坐標(biāo)，在令直線y=﹣x﹣中y=0，求出x值，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線AB于點(diǎn)Q，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，表示出Q的坐標(biāo)，利用分割圖形法求面積找出關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

（3）假設(shè)能，由拋物線的解析式找出拋物線的對稱軸，分線段AB為對角線和邊兩種情況來考慮，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的一元一次方程，解方程即可求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）把x=4代入y=﹣x﹣=﹣×4﹣=﹣2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，﹣2），

把y=0代入y=﹣x﹣=0，

解得：x=﹣1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

把A，B代入y=，得：，解得：，

∴拋物線的解析式：y=；

（2）過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線AB于點(diǎn)Q，如圖1所示．

設(shè)P（m，）（1＜m＜4），Q（m，﹣m﹣），

則PQ=﹣（﹣m﹣）=，

∵==OAPQ=×1×[﹣（﹣m﹣）]==（1＜m＜4），

∴當(dāng)m=時，取最大值，最大值為；

（3）假設(shè)能．由（1）知拋物線的對稱軸為x==1，

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，以點(diǎn)A、B、P、M為頂點(diǎn)的平行四邊形有兩種情況：

①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，有，則﹣1﹣4=﹣1，

解得：=﹣4，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣4，

將x=﹣4代入y=，得：y=，

∴點(diǎn)P（﹣4，）；

②當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，有，則﹣（﹣1）=4﹣1，

解得：=2，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，

將x=2代入y=，得：y=，

∴點(diǎn)P（2，）．

綜上所述：以點(diǎn)A、B、P、M為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，）或（2，）．