Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0）．與y軸的交點為B（0，3），其頂點為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將△AOB沿x軸向右平移m個長度單位（0＜m＜3）后得到另一個△FPE，點A、O、B的像分別為點F、P、E．

①如圖①，當點E在直線AC上時，求m的值．

②設所得的三角形△FPE與△ABC重疊部分的面積為S，求S關于m的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①m＝；②當0＜m≤時，S＝﹣m2+3m；當＜m＜3時，S＝m2﹣3m+．

【解析】

（1）根據待定系數法可得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3．

（2）把點E的坐標代入直線AC的解析式來解答；

（3）平移后的三角形記為△PEF．根據待定系數法可得直線AB的解析式為y=-x+3．易得AB平移m個單位所得直線EF的解析式為y=-x+3+m．連結BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過程中．根據圖象，易知重疊部分面積有兩種情況：①當0＜m≤時；②當＜m＜3時；討論可得用m的代數式表示S．

（1）由題意可知，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為B（0，3），則，解得．

故拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）由題意知，E（m，3）．

由（1）得：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，故C（1，4）．

設直線AC的解析式為y＝kx+t（k≠0）．

把A（3，0），C（1，4）代入，得．

解得．

故直線AC的解析式為：y＝﹣2x+6．

把E（m，3）代入知，﹣2m+6＝3

解得m＝；

（3）平移后的三角形記為△PEF．

設直線AB的解析式為y＝k′x+d，則，

解得．

則直線AB的解析式為y＝﹣x+3．

△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到△PEF，

易得直線EF的解析式為y＝﹣x+3+m．

由（2）知，直線AC的解析式為y＝﹣2x+6．

連結BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．

在△AOB沿x軸向右平移的過程中．

①當0＜m≤時，如圖1所示．

設PE交AB于K，EF交AC于M．

則BE＝EK＝m，PK＝PA＝3﹣m，

聯立，解得，

即點M（3﹣m，2m）．

故S＝S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM

＝PE2﹣PK2﹣Fh

＝﹣（3﹣m）2﹣m2m

＝﹣m2+3m．

②當＜m＜3時，如圖2所示．

設PE交AB于K，交AC于H．

因為BE＝m，所以PK＝PA＝3﹣m，

又因為直線AC的解析式為y＝﹣2x+6，

所以當x＝m時，得y＝6﹣2m，

所以點H（m，6﹣2m）．

故S＝S△PAH﹣S△PAK

＝PAPH﹣PA2

＝﹣（3﹣m）（6﹣2m）﹣（3﹣m）2

＝m2﹣3m+．

綜上所述，當0＜m≤時，S＝﹣m2+3m；當＜m＜3時，S＝m2﹣3m+．