Question

已知y關于x的函數關系式為y=（a-1）x²-2ax+a+2．
（1）上述函數的圖象與x軸只有一個交點時，求交點的坐標；
（2）當此函數是二次函數時，設頂點為（m，n），求n關于m的函數關系式；
（3）y關于x的函數是二次函數，拋物線與x軸有兩個交點時，頂點為（m，n），

1

m

+

1

n

=3，求值a的．

Answer 1

分析：（1）根據函數為一次函數，二次函數兩種情況，分別求出函數的圖象與x軸只有一個交點時，交點的坐標；
（2）由頂點坐標公式用a表示頂點坐標，再消去a，得出n關于m的函數關系式；
（3）根據拋物線與x軸有兩個交點，求a的取值范圍，再用a表示m、n，代入

1

m

+

1

n

=3中求a的值．

解答：解：（1）當函數為一次函數時，a-1=0，即a=1，函數式為y=-2x+3，與x軸的交點為（

3

2

，0）；
當函數為二次函數時，a-1≠0，即a≠1，
函數的圖象與x軸只有一個交點，則△=（-2a）²-4（a-1）（a+2）=0，
解得a=2，函數式為y=x²-4x+4，當y=0時，x=2，
即與x軸的交點為（2，0）；

（2）由y=（a-1）x²-2ax+a+2可知，拋物線頂點橫坐標為：m=-

-2a

2(a-1)

=

a

a-1

，
代入函數解析式得頂點縱坐標為n=

a-2

a-1

，則n+m=

a-2

a-1

+

a

a-1

=2，
故n=-m+2； 
      
（3）∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴

a-1≠0 (-2a)2-4(a-1)(a+2)＞0

，
解得a＜2且a≠1，
將m=

a

a-1

，n=

a-2

a-1

代入

1

m

+

1

n

=3中，
得

a-1

a

+

a-1

a-2

=3，整理得a²-2a-2=0，
解得a=1±

3

，
∵a＜2且a≠1，
∴a=1-

3

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題，二次函數的性質．關鍵是掌握拋物線與x軸有交點的條件，頂點坐標的求法．