Question

【題目】如圖，拋物線y=－ +mx+m+與x軸相交于點A、B（點A在B的左側）與y軸相交于點C，頂點D在第一象限．

（1）求頂點D的坐標（用m 的代數式表示）；

（2）當60°≤∠ADB≤90°時，求m的變化范圍；

（3）當△BCD的面積與△ABC的面積相等時，求m的值.

Answer 1

【答案】（1）D；（2）；（3）

【解析】分析：（1）運用配方法改寫成頂點式，即可求出頂點D的坐標；

（2）先將y=﹣x2+mx+m+與x軸的交點A與B的坐標，得到DH，AH的長度，再由拋物線的對稱性可知當60°≤∠ADB≤90°時，30°≤∠ADH≤45°，然后根據30°，45°角的正切函數值及銳角三角函數的增減性即可求出m的變化范圍；

（3）設DH與BC交于點M，則點M的橫坐標為m．先運用待定系數法求出直線BC的解析式，則可用含m的代數式表示點M的坐標，再根據S△DBC=S△ABC求出m的值．

詳解：（1）y=﹣x2+mx+m+=﹣（x﹣m）2+，∴頂點D（m，），即；D（m，）．

（2）過D作DH⊥x軸于H．令y=﹣x2+mx+m+=0，解得：x=﹣1或2m+1，

則與x軸的交點A（﹣1，0），B（2m+1，0），∴DH=，AH=m﹣（﹣1）=m+1，∴tan∠ADH==．

當60°≤∠ADB≤90°時，由對稱性得30°≤∠ADH≤45°，∴當∠ADH=30°時，=，∴m=2﹣1，當∠ADH=45°時，=1，∴m=1，∴1≤m≤2﹣1；

（3）設DH與BC交于點M，則點M的橫坐標為m．

設過點B（2m+1，0），C（0，m+）的直線解析式為；y=kx+b，則，解得，即y=﹣x+m+．

當x=m時，y=﹣m+m+=，∴M（m，），∴DM=﹣=，AB=（2m+1）﹣（﹣1）=2m+2．

又∵S△DBC=S△ABC，∴（2m+1）=（2m+2）（m+）．解得：m=－1，m=－，m=2．又∵拋物線的頂點D在第一象限，∴m＞0，解得：m=2．