Question

在中，對角線為BD延長線上一點且為等邊三角形，、的平分線相交于點，連接，連接。

（1）若的面積為，求的長；
（2）求證：。

Answer 1

（1）AG＝6　　（2）要證明，則可通過證明即可。

試題分析：（1）解∵四邊形ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC。∵BC⊥DB，∴AD⊥BD。
∵△AGB為等邊三角形，∴AG=AB=BG=8.所以DG=DB=BG=4（三線合一定理）
在Rt△ADB中，S△ADB=AD×BD=。設BD=x，則AD=x。則
所以AG=6
（2）證明：因為△ABG為等邊三角形，所以∠GBA=∠GAB=∠ABG=60°。
∵BD⊥AD。所以∠BAD=30°。因為EA是∠BAD角平分線，∠CBD=90°。
∴∠BAE =∠DAE=15°。因為BE為∠CBD平分線，∠CBD=90°，
所以∠EBD=45°。∠EBA=45°+60°=105°。
則∠BEA=180°-105°-15°=60°。所以∠BEA=∠FBA，∠BFE=∠GFC，
∴△AFB∽△ABE
∴∵∠GAE=60°-15°=45°=∠EBF，∠BFE=∠GFA，
∴△BFE∽△AFG，∴
∵∠EFG=∠BFA，∴△EFG∽△BFA
∴∠GEF=∠ABF=60°。而∠BGA=60°。所以△AGF∽△CEG
∴所以
因為△BAG為等邊三角形，所以BA=AG=BG=BF+FG
所以所以AE=BE+GE
點評：本題考查了平行四邊形性質，勾股定理，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，三角形的內角和定理，相似三角形的性質和判定等知識點的綜合運用，本題綜合性比較強，難度偏大．