Question

【題目】如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點F，E分別以相同的速度從D，C兩點同時出發向C和B運動（任何一個點到達即停止），過點P作PM∥CD交BC于M點，PN∥BC交CD于N點，連接MN，在運動過程中，則下列結論：
①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PEBF；⑤線段MN的最小值為 ．
其中正確的結論有（ ）

A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如圖，

∵動點F，E的速度相同，
∴DF=CE，
又∵CD=BC，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正確；
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正確；
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠APB=90°，故③正確；
在△BPE和△BCF中，
∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，
∴△BPE∽△BCF，
∴ = ，
∴CFBE=PEBF，
∵CF=BE，
∴CF2=PEBF，故④正確；
∵點P在運動中保持∠APB=90°，
∴點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，
設AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，
在Rt△BCG中，CG= = = ，
∵PG= AB= ，
∴CP=CG﹣PG= ﹣ = ，
即線段CP的最小值為 ，故⑤正確；
綜上可知正確的有5個，
故選D．
由正方形的性質及條件可判斷出①△ABE≌△BCF，即可判斷出②AE=BF，∠BAE=∠CBF，再根據∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判斷③，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性質，結合CF=BE可判斷④；然后根據點P在運動中保持∠APB=90°，可得點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，最后在Rt△BCG中，根據勾股定理，求出CG的長度，再求出PG的長度，即可求出線段CP的最小值，可判斷⑤．