Question

如圖1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD，連接DQ，交AB于點E．設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：

（1）用含有t的代數式表示AE=

5-t

．
（2）當t為何值時，平行四邊形AQPD為矩形．
（3）如圖2，當t為何值時，平行四邊形AQPD為菱形．

Answer 1

分析：（1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四邊形對角線互相平分表示出線段AE即可；
（2）利用矩形的性質得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形對應邊的比相等列出比例式即可求得t值；
（3）利用菱形的性質得到．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．
∴由勾股定理得：AB=10cm，
∵點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度均為2cm/s，
∴BP=2tcm，
∴AP=AB-BP=10-2t，
∵四邊形AQPD為平行四邊形，
∴AE=

1

2

AP=5-t；

（2）當?AQPD是矩形時，PQ⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC  
∴

QA

AP

=

AC

AB

即

2t

10-2t

=

8

10

 
解之  t=

20

9

∴當t=

20

9

時，?AQPD是矩形；

（3）當?AQPD是菱形時，DQ⊥AP，
則 COS∠BAC=

AE

AQ

=

AC

AB

   
即 

5-2t

2t

=

4

5

解之  t=

25

13

∴當t=

25

13

時，□AQPD是菱形．

點評：本題考查了相似形的綜合知識，正確的利用平行四邊形、矩形、菱形的性質得到正方形是解決本題的關鍵．