Question

已知：如圖，AB為半圓O的直徑，C、D是半圓上的兩點，E是AB上除O外的一點，AC與DE交于點F．①

AD

=

DC

；②DE⊥AB；③AF=DF．請你寫出以①、②、③中的任意兩個條件，推出第三個（結論）的一個正確命題．并加以證明．

Answer 1

分析：假如①和②作為條件，③作為結論組成一個命題為真命題，理由為：連接AD，BD，由兩弧相等，根據等弧所對的圓周角相等得到∠DAC=∠B，又AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，且DE與AB垂直，從而得到三角形ABD與三角形AED都是直角三角形，根據直角三角形的銳角互余，得到∠DAE與∠ADE及∠B都互余，根據等角的余角相等得到∴∠ADE=∠B，等量代換得到∠DAC=∠ADE，再利用等角對等邊得到DF=AF，得證．

解答：解：如果①、②為條件，③作為結論，組成的命題為真命題，…（1分）
理由如下：
證明：連接AD、BD，

∵

AD

=

DC

，
∴∠DAC=∠B，…（2分）
又∵AB為直徑，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，…（3分）
∴∠DAE+∠ADE=90°，∠DAE+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
∴∠DAC=∠ADE，…（4分）
∴AF=DF．…（5分）

點評：此題考查了圓周角定理，以及等腰三角形的判定，利用了轉化的思想，屬于開放型題，答案不唯一，只要滿足題意，得到的命題為真命題都可以．