Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣ax2+2ax+c與x軸相交于A（﹣1，0）、B兩點（A點在B點左側），與y軸相交于點C（0，3），點D是拋物線的頂點．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點F（0，b）在y軸上，連接AF，點Q是線段AF上的一個動點，P是第一象限拋物線上的一個動點，當b＝﹣時，求四邊形CQBP面積的最大值與點P的坐標；

（3）如圖2，點C1與點C關于拋物線對稱軸對稱．將拋物線y沿直線AD平移，平移后的拋物線記為y1，y1的頂點為D1，將拋物線y1沿x軸翻折，翻折后的拋物線記為y2，y2的頂點為D2．在（2）的條件下，點P平移后的對應點為P1，在平移過程中，是否存在以P1D2為腰的等腰△C1P1D2，若存在請直接寫出點D2的橫坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）當m＝時，S四邊形CQBP取得最大值，此時P點坐標為（，）；（3）存在，滿足要求的D2的橫坐標有：，，，．

【解析】

（1）將A、C兩點坐標代入拋物線解析式當中求出a與c的值即可；

（2）先求出B、F坐標，然后可以證明AF與BC平行，于是△QBC的面積就等于△ABC的面積，問題就轉化為求△PBC的面積的最大值，作PE∥y軸交直線BC于E，設P點的橫坐標為未知數m，將E點坐標也用m表示，PE的長度用P、E縱坐標之差表示，于是△PBC的面積就可以表示成關于m的二次函數，通過配方法即可求出最值及P點坐標．

（3）由于限定了以P1D2為腰，因此分兩大類分別列方程計算即可．

（1）將A（﹣1，0）、C（0，3）代入拋物線解析式得：

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）如圖1，連接BC，AC，作PE∥y軸交BC于E．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x+1）（x﹣3）．

∴B（3，0），

∵b＝﹣，

∴F（0，﹣），

∴＝，

∴AF∥BC，

∴S△QBC＝S△ABC＝ABOC＝6，

由B、C兩點坐標可得直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，

設P（m，﹣m2+2m+3），則E（m，﹣m+3），

PE＝yP﹣yE＝﹣m2+4m，

∴S△PBC＝（xB﹣xC）（yP﹣yE）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣）2+，

∴S四邊形CQBP＝S△QBC+S△PBC＝S△ABC+S△PBC＝﹣（m﹣）2+，

∴當m＝時，S四邊形CQBP取得最大值，此時P點坐標為（，）．

（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝，

∴D（1，4），拋物線對稱軸為x＝1，

∵C1與C關于直線x＝1對稱，

∴C1（2，3），

由A、D兩點坐標可求得直線AD的解析式為y＝2x+2，

設D1（m，2m+2），

則P1（m+，2m+），D2（m，﹣2m﹣2），

∴，，

，

當P1C1＝P1D2時，＝，解得，．

當C1D2＝P1D2時，9m2+36m+54＝，解得，．

綜上所述，滿足要求的D2的橫坐標有：，，，．