Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把邊長分別為x₁，x₂，x₃，…，x_n的n個正方形依次放入△ABC中，請回答下列問題：
（1）按要求填表：

n	1	2	3
xn

（2）第n個正方形的邊長x_n=

 

；
（3）若m，n，p，q是正整數(shù)，且x_m•x_n=x_p•x_q，試判斷m，n，p，q的關系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質就可以求出第一個正方形的邊長，其它正方形的邊長求法相同；
（2）根據(jù)所求x_n的一般式進行計算．

解答：解：（1）設第一個正方形的邊長是x，則

DE

AC

=

BD

AB

=

x

2

，
同理得到

DF

BC

=

AD

AB

=x，
兩式相加得到

x

2

+x=1
解得x=

2

3

，
同理解得：第二個的邊長是

4

9

=(

2

3

)2，第三個的邊長是

8

27

=(

2

3

)3；

n	1	2	3
xn	2 3	4 9	8 27

（2）依此類推，第n個正方形的邊長是(

2

3

)n；

（3）∵x_m•x_n=x_p•x_q，∴(

2

3

)m•(

2

3

)n=(

2

3

)p•(

2

3

)q
∴(

2

3

)m+n=(

2

3

)p+q
∴m+n=p+q．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質，根據(jù)對應邊的比相等求出邊長，是解決本題的關鍵．