Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c經過A（1，0），B（0，2）兩點，頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將△OAB繞點A順時針旋轉90°后，點B落到點C的位置，將拋物線沿y軸平移后經過點C，求平移后所得圖象的函數關系式；
（3）設（2）中平移后，所得拋物線與y軸的交點為B₁，頂點為D₁，若點N在平移后的拋物線上，且滿足△NBB₁的面積是△NDD₁面積的2倍，求點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法，將點A，B的坐標代入解析式即可求得；
（2）根據旋轉的知識可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，
可得旋轉后C點的坐標為（3，1），當x=3時，由y=x²-3x+2得y=2，可知拋物線y=x²-3x+2過點（3，2）∴將原拋物線沿y軸向下平移1個單位后過點C．∴平移后的拋物線解析式為：y=x²-3x+1；
（3）首先求得B₁，D₁的坐標，根據圖形分別求得即可，要注意利用方程思想．

解答：解：（1）已知拋物線y=x²+bx+c經過A（1，0），B（0，2），
∴

0=1+b+c 2=0+0+c

，
解得

b=-3 c=2

，
∴所求拋物線的解析式為y=x²-3x+2；（2分）

（2）∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
可得旋轉后C點的坐標為（3，1），（3分）
當x=3時，由y=x²-3x+2得y=2，
可知拋物線y=x²-3x+2過點（3，2），
∴將原拋物線沿y軸向下平移1個單位后過點C．
∴平移后的拋物線解析式為：y=x²-3x+1；（5分）

（3）∵點N在y=x²-3x+1上，可設N點坐標為（x₀，x₀²-3x₀+1），
將y=x²-3x+1配方得y=（x-

3

2

）²-

5

4

，
∴其對稱軸為直線x=

3

2

．（6分）
①0≤x₀≤

3

2

時，如圖①，
∵S△NBB1=2S△NDD1，
∴

1

2

×1×x0=2×

1

2

×1×(

3

2

-x0)
∵x₀=1，
此時x₀²-3x₀+1=-1，
∴N點的坐標為（1，-1）．（8分）
②當x0＞

3

2

時，如圖②，
同理可得

1

2

×1×x0=2×

1

2

×(x0-

3

2

)，
∴x₀=3，
此時x₀²-3x₀+1=1，
∴點N的坐標為（3，1）．
③當x＜0時，由圖可知，N點不存在，
∴舍去．
綜上，點N的坐標為（1，-1）或（3，1）．（10分）

點評：此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點考查的較多而且聯系密切，需要學生認真審題．
此題考查了二次函數與一次函數的綜合知識，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．