Question

如圖，直線AB∥CD．
（1）在圖1中，∠BME、∠E，∠END的數(shù)量關系為：

∠E=∠BME+∠END

；（不需證明）
在圖2中，∠BMF、∠F，∠FND的數(shù)量關系為：

∠BMF=∠F+∠FND

；（不需證明）
（2）如圖3，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E與∠F互補，求∠FME的大小．
（3）如圖4中，∠BME=60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變化，求∠FEQ的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）過點E作EF∥AB，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BME=∠1，∠END=∠2，然后相加即可得解；先根據兩直線平行，同位角相等求出∠3=∠FND，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解；
（2）設∠END=x°，∠BNE=y°，根據（1）的結論可得x+y=∠E，2x+∠F=y，然后消掉x并表示出y，再根據2∠E與∠F互補求出y，然后根據角平分線的定義求解即可；
（3）根據（1）的結論表示出∠MEN，再根據角平分線的定義表示出∠FEN和∠ENP，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠NEQ=∠ENP，然后根據∠FEQ=∠FEN-∠NEQ整理即可得解．

解答：解：（1）如圖1，過點E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠BME=∠1，∠END=∠2，
∴∠1+∠2=∠BME+∠END，
即∠E=∠BME+∠END；
如圖2，∵AB∥CD，
∴∠3=∠FND，
∴∠BMF=∠F+∠3=∠F+∠FND，
即∠BMF=∠F+∠FND；
故答案為：∠E=∠BME+∠END；∠BMF=∠F+∠FND；

（2）如圖3，設∠END=x°，∠BNE=y°，
由（1）的結論可得x+y=∠E，2x+∠F=y，
消掉x得，3y=2∠E+∠F，
∵2∠E與∠F互補，
∴2∠E+∠F=180°，
∴3y=180°，
解得y=60°，
∵MB平分∠FME，
∴∠FME=2y=2×60°=120°；

（3）由（1）的結論得，∠MEN=∠BME+∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN=

1

2

∠MEN=

1

2

（∠BME+∠END），
∠ENP=

1

2

∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ=∠ENP，
∴∠FEQ=∠FEN-∠NEQ=

1

2

（∠BME+∠END）-

1

2

∠END=

1

2

∠BME，
∵∠BME=60°，
∴∠FEQ=

1

2

×60°=30°．

點評：本題考查了平行線的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，此類題目，過拐點作平行線是解題的關鍵，準確識圖理清圖中各角度之間的關系也很重要．