Question

已知：關于x的方程kx²+（2k-3）x+k-3=0．
（1）求證：方程總有實數根；
（2）當k取哪些整數時，關于x的方程kx²+（2k-3）x+k-3=0的兩個實數根均為負整數？

Answer 1

分析：（1）分兩種情況討論，當k=0時為一元一次方程，方程有一個實數根；當k≠0時，利用根的判別式計算出△＞0，得到方程總有實數根；
（2）先判斷出方程為一元二次方程，然后利用求根公式求出方程的兩個根，再根據方程兩根均為負數得出k的取值范圍，從而求出k的值．

解答：解：（1）分類討論：
若k=0，則此方程為一元一次方程，即-3x-3=0，
∴x=-1有根，（1分）
若k≠0，則此方程為一元二次方程，
∴△=（2k-3）²-4k（k-3）=9＞0，（2分）
∴方程有兩個不相等的實數根，（3分）
綜上所述，方程總有實數根．
（2）∵方程有兩個實數根，
∴方程為一元二次方程．
∵利用求根公式x=

-(2k-3)± 9

2k

，（4分）
得x1=

6-2k

2k

=

3

k

-1；x₂=-1，（5分）
∵方程有兩個負整數根，
∴

3

k

-1是負整數，即k是3的約數
∴k=±1，±3
但k=1、3時根不是負整數，
∴k=-1、-3．（7分）

點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，要明確：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根；同時要加以靈活運用．