Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＞AB，在BC邊上取點D，使AB＝BD，構造正方形ABDE，DE交AC于點F，作EG⊥AC交AC于點G，交BC于點H．

（1）求證：EF＝DH；

（2）若AB＝6，DH＝2DF，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）根據正方形的性質及同角的余角相等建立AAS即可證明△AFE≌△EHD，再根據全等三角形的性質即可得出答案；

（2）設DF＝x，則EF＝DH＝2x，根據AB＝6即可求出x的值；再證明△AEF∽△CDF即可求出BC的值，最后根據勾股定理即可得出答案．

解：（1）證明：在正方形ABDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠EDH＝90°

∴∠DHE+∠GEF＝90°

∵EG⊥AC

∴∠GEF+∠GFE＝90°

∴∠GFE＝∠DHE

在△AFE和△EHD中

∴△AFE≌△EHD（AAS）

∴EF＝DH；

（2）∵DH＝2DF，EF＝DH

∴設DF＝x，則EF＝DH＝2x

∵AB＝6

∴AE＝DE＝6

∴x+2x＝6

∴x＝2

∴DF＝2，EF＝4

∵在正方形ABDE中，AE∥BD

∴△AEF∽△CDF

∴

∴

∴DC＝3

∴BC＝BD+DC＝6+3＝9

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AC＝＝＝

∴AC的長為．