Question

課本中，把長與寬之比為的矩形紙片稱為標準紙．請思考解決下列問題：

(1)將一張標準紙ABCD(AB＜BC)對開，如圖(1)所示，所得的矩形紙片ABEF是標準紙．請給予證明．

(2)在一次綜合實踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB＜BC)進行如下操作：

第一步：沿過A點的直線折疊，使B點落在AD邊上點F處，折痕為AE(如圖(2)甲)；

第二步：沿過D點的直線折疊，使C點落在AD邊上點N處，折痕為DG(如圖(2)乙)，此時E點恰好落在AE邊上的點M處；

第三步：沿直線DM折疊(如圖(2)丙)，此時點G恰好與N點重合．

請你探究：矩形紙片ABCD是否是一張標準紙？請說明理由．

(3)不難發現：將一張標準紙按如圖(3)一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標準紙．現有一張標準紙ABCD，AB＝1，BC＝，問第5次對開后所得標準紙的周長是多少？探索直接寫出第2012次對開后所得標準紙的周長．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根據＝＝2·＝＝，得出矩形紙片ABEF也是標準紙； 　　(2)利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出＝＝，即可得出答案； 　　(3)分別求出每一次對折后的周長，進而得出變化規律求出即可． 　　解答：解：(1)是標準紙， 　　理由如下： 　　∵矩形ABCD是標準紙， 　　∴＝， 　　由對開的含義知：AF＝BC， 　　∴＝＝2·＝＝， 　　∴矩形紙片ABEF也是標準紙． 　　(2)是標準紙，理由如下： 　　設AB＝CD＝a，由圖形折疊可知：DN＝CD＝DG＝a， 　　DG⊥EM， 　　∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE， 　　∴∠DAE＝∠BAD＝45°， 　　∴△ADG是等腰直角三角形， 　　∴在Rt△ADG中，AD＝＝a， 　　∴＝＝， 　　∴矩形紙片ABCD是一張標準紙； 　　(3)對開次數： 　　第一次，周長為：2(1＋)＝2＋， 　　第二次，周長為：2(＋)＝1＋， 　　第三次，周長為：2(＋)＝1＋， 　　第四次，周長為：2(＋)＝， 　　第五次，周長為：2(＋)＝， 　　第六次，周長為：2(＋)＝， 　　… 　　∴第5次對開后所得標準紙的周長是：， 　　第2012次對開后所得標準紙的周長為：． 　　點評：此題主要考查了翻折變換性質以及規律性問題應用，根據已知得出對開后所得標準紙的周長變化規律是解題關鍵．

提示：

考點：翻折變換(折疊問題)；全等三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性質；圖形的剪拼．