Question

同學(xué)們知道：x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，則ax₀²+bx₀+c=0；反過來，若ax₀²+bx₀+c=0（a≠0）則x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的一根．
問題：已知實(shí)數(shù)a、b滿足a²+3a-1=0，b²+3b-1=0，求：

b

a

+

a

b

的值．

Answer 1

分析：若a與b相等，直接求出所求式子的值；若a與b不相等，根據(jù)題中已知的ax₀²+bx₀+c=0（a≠0），則x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的一根，由實(shí)數(shù)a、b滿足a²+3a-1=0，b²+3b-1=0，得到a與b為一個(gè)一元二次方程的兩根，找出此方程中的a，b及c，計(jì)算出b²-4ac，發(fā)現(xiàn)其值大于0，故利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，然后把所求式子通分后，分子配方得到關(guān)于a+b與ab的式子，將a+b與ab的值整體代入即可求出值．

解答：解：當(dāng)a=b時(shí)，

b

a

+

a

b

=1+1=2；
當(dāng)a≠b時(shí)，a與b為方程x²+3x-1=0的兩個(gè)根，
∵a=1，b=3，c=-1，
∴b²-4ac=3²+4=13＞0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b=-

3

1

=-3，ab=

-1

1

=-1，
∴

b

a

+

a

b

=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

=

(-3)2+2

-1

=-11．
綜上，

b

a

+

a

b

的值為2或-11．

點(diǎn)評：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，在運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，先考慮一元二次方程中根的判別式大于等于0，即方程有解這個(gè)前提，然后利用通分、配方、提取公因式等方法把所求的式子變形為與兩根之和及兩根之積有關(guān)的式子，最后把求出的兩根之和與兩根之積整體代入即可求出值．本題分兩種情況考慮：a與b相等；a與b不相等，學(xué)生做題時(shí)考慮問題要全面，不要遺漏解．