Question

【題目】如圖，已知：在直角中，，點在邊上，且如果將沿所在的直線翻折，點恰好落在邊上的點處，點為邊上的一個動點，聯結，以圓心，為半徑作⊙，交線段于點和點，作交⊙于點，交線段于點．

（1）求點到點和直線的距離

（2）如果點平分劣弧，求此時線段的長度

（3）如果為等腰三角形，以為圓心的⊙與此時的⊙相切，求⊙的半徑

Answer 1

【答案】(1) ，；（2）；（3）或20．

【解析】

（1）設BD與AM交于點N，那么∠BNM=90°，BN=DN，然后解直角三角形即可解答；

（2）先確定∠CAB的正弦值，再設BG=3m、OG=4m建立方程求得m；再運用解直角三角形求得BE，最后利用AE=AB-BE即可求解；

（3）先求出△AOE為等腰三角形時圓O的半徑及圓心距；然后就圓A與圓O是內切還是外切分類討論求解即可．

解：（1）如圖：設BD與AM交于點N，那么∠BNM=90°，BN=DN

∵Rt△ABM中，AB=12，BM=4，

∴tan∠2=， cos∠2=

∵∠1+∠BMN=90°，∠2+∠BMN=90°，

∴∠1=∠2.

∵Rt△BMN中，BM=4，

∴BN=BM·cos∠1=

∴BD=2BN=

如圖所示：作DH⊥AB于H，

∴DH∥CB

∴∠BDH=∠MBN

∴DH=BD·cos∠BDH=×=；

（2）∵在Rt△ADH中，DH=，AD=AB=12，

∴sin∠CAB=

如圖所示：因為點F平分弧BE，

∴OF⊥BE，BG=EG

在Rt△BOG中，已知∠BOF=∠BAC，設BG=3m，OG=4m.

在Rt△AOG中，由tan∠A==，

解得m=

∴AE=AB-BE=12-6m=；

(3)第一步，求△AOE為等腰三角形時圓O的半徑，

∵△AOE是鈍角三角形，

∴只存在EO=EA的情況。

如圖所示：作EK⊥AC于K

在Rt△AEK中，設EK=3n，則AK=4n，EA=5n.

如圖所示：作OP⊥AB于P

在Rt△AOP中，OA=2AK=8n，AP=OA=

∴PE=AP-AE=-5n=

由AB=2PE+EA=+5n=12.解得：n=.

∴ro=OE=5n=，圓心距d=OA=

第二步，分兩種情況討論圓A與圓O相切.

①如圖所示，當圓A與圓O外切時，ro+ra=d，

所以ra =d-ro=；

②如圖所示，當圓A與圓O內切時ra-ro=d

所以ra=d+ro=．