Question

【題目】如圖，P是正方形ABCD對角線BD上一點，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分別為垂足．

（1）求證：△APD≌△CPD；

（2）若CF=3，CE=4，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5．

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，用SAS證明△APD≌△CPD；

（2）證明四邊形PEDF是矩形，用勾股定理求EF，結(jié)合矩形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論求AP的長.

試題解析：

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，∠BCD=90°，

在△APD和△CPD中，，

∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）解：∵△APD≌△CPD，∴AP=PC，

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，

∵PE⊥DC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，

∴四邊形PECF是矩形，∴PC=EF，∴AP=EF．

∵∠DCB=90°，∴在Rt△CEF中，EF===5，

∴AP=EF=5．