Question

（2013•渭源縣模擬）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，點E是BC邊的中點，△DEF是等邊三角形，DF交AB于點G，則△BFG的周長為

1+

3

．

Answer 1

分析：首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°點E是BC邊的中點，推出四邊形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等邊三角形，得出DF，由Rt△AGD可求出AG、DG，進而求得FG，再證△AGD≌△FGB，得到BF=AD，從而求出△BFG的周長．

解答：解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，點E是BC邊的中點，
∴AD=BE=CE=1，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
∴∠DEC=90°，∠A=90°，
又∵∠C=60°，
∴DE=CE•tan60°=1×

3

=

3

，
又∵△DEF是等邊三角形，
∴DF=DE=AB=

3

，∠AGD=∠EDF=60°，∠ADG=30°，
∴AG=AD•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，
∴DG=2AG=

2 3

3

，FG=DF-DG=

3

-

2 3

3

=

3

3

，
BG=AB-AG=

3

-

3

3

=

2 3

3

，
∵在△AGD與△FGB中，

AG=FG ∠AGD=∠FGB DG=BG

，
∴△AGD≌△FGB，
∴BF=AD=1，
∴△BFG的周長為=FG+BG+BF=

3

3

+

2 3

3

+1=1+

3

．
故答案為：1+

3

．

點評：本題考查的是直角梯形，涉及到等邊三角形的性質及解直角三角形，熟知等邊三角形的性質是解答此題的關鍵．