Question

閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．
已知在平面內兩點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），其兩點間的距離P1P2=

(x1-x2)2+(y1-y2

)2，
同時，當兩點所在的直線在坐標軸或平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間距離公式可簡化為|x₂-x₁|或|y₂-y₁|．
（1）已知A（2，4）、B（-3，-8），試求A、B兩點間的距離；
（2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為4，點B的縱坐標為-1，試求A、B兩點間的距離；
（3）已知一個三角形各頂點坐標為D（1，6）、E（-2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說明理由；
（4）平面直角坐標中，在x軸上找一點P，使PD+PF的長度最短，求出點P的坐標以及PD+PF的最短長度．

Answer 1

分析：（1）根據閱讀材料中的A與B的坐標，利用兩點間的距離公式求出A與B的距離即可；
（2）根據兩點在平行于y軸的直線上，根據A與B的縱坐標求出AB的距離即可；
（3）由三頂點坐標求出DE，DF，EF的長，即可判定此三角形形狀；
（4）找出F關于x軸的對稱點F′，連接DF′，與x軸交于P點，此時PD+PF最短，設直線DF′的解析式為y=kx+b，將D與F′的坐標代入求出k與b的值，確定出直線DF′解析式，令y=0求出x的值，確定出P坐標，由D與F′坐標，利用兩點間的距離公式求出DF′的長，即為PD+PF的最短長度．

解答：解：（1）∵A（2，4）、B（-3，-8），
∴AB=

(-3-2)2+(-8-4)2

=13；

（2）∵A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為4，點B的縱坐標為-1，
∴AB=|4-（-1）|=5；

（3）△DEF為等腰三角形，理由為：
∵D（1，6）、E（-2，2）、F（4，2），
∴DE=

(-2-1)2+(2-6)2

=5，DF=

(4-1)2+(2-6)2

=5，EF=

(-2-4)2+(2-2)2

=6，即DE=DF，
則△DEF為等腰三角形；

（4）做出F關于x軸的對稱點F′，連接DF′，與x軸交于點P，此時DP+PF最短，
設直線DF′解析式為y=kx+b，
將D（1，6），F′（4，-2）代入得：

k+b=6 4k+b=-2

，
解得：

k=- 8 3 b= 26 3

，
∴直線DF′解析式為y=-

8

3

x+

26

3

，
令y=0，得：x=

13

4

，即P（

13

4

，0），
∵PF=PF′，
∴PD+PF=DP+PF′=DF′=

(1-4)2+(6+2)2

=

73

，
則PD+PF的長度最短時點P的坐標為（

13

4

，0），此時PD+PF的最短長度為

73

．

點評：此題屬于一次函數綜合題，待定系數法求一次函數解析式，以及一次函數與x軸的交點，弄清題中材料中的距離公式是解本題的關鍵．