Question

【題目】如圖1，在數軸上A、B兩點對應的數分別是6、﹣6，∠DCE＝90°（C與O重合，D點在數軸的正半軸上）．

（1）如圖2，將∠DCE沿數軸的正半軸向右平移t（0＜t＜3）個單位后，再繞點頂點C逆時針旋轉30t度，作CF平分∠ACE，此時記∠DCF＝α．

①當t＝1時，求α的度數；

②猜想∠BCE和α的數量關系，并證明；

（2）如圖3，開始∠D1C1E1與∠DCE重合，將∠DCE沿數軸的正半軸向右平移t（0＜t＜3）個單位，再繞點頂點C逆時針旋轉30t度，作CF平分∠ACE，此時記∠DCF＝α，與此同時，將∠D1C1E1沿數軸的負半軸向左平移t（0＜t＜3）個單位，再繞點頂點C1順時針旋轉30t度，作C1F1平分∠AC1E1，記∠D1C1F1＝β，若α與β滿足，求出此時t的值．

Answer 1

【答案】（1）①α＝30°；②∠BCE＝2α，理由見解析；（2）t＝．

【解析】

（1）①令 ，求得α＝30°；②利用角平分線的性質求出和α是2倍的數量關系；

（2）由（1）的方法用t的關系式表示出α和β，然后根據列出方程，求出t的值．

解：（1）①當t＝1時，

∵∠DCA＝30°，∠ECD＝90°，

∴∠ECA＝120°，

∵CF平分∠ACE，

∴∠FCA＝∠ECA＝60°

∴α＝∠FCD＝60°﹣30°＝30°

②如圖2中，猜想：∠BCE＝2α．

理由：∵∠DCE＝90°，∠DCF＝α，

∴∠ECF＝90°﹣α，

∵CF平分∠ACE，

∴∠ACF＝∠ECF＝90°﹣α，

∵點A，O，B共線

∴∠AOB＝180°

∴∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣（90°﹣2α）＝2α．

（2）如圖3中，由題意：α＝∠FCA﹣∠DCA＝（90°+30t）﹣30t＝45°﹣15t，

β＝∠AC1D1+∠AC1F1＝30t+（90°﹣30t）＝45°+15t，

∵|β﹣α|＝15°，

∴|30t|＝15°，

解得t＝．