Question

（2012•天河區一模）如圖（1），AB、BC、CD分別與⊙O相切于點E、F、G，且AB∥CD，若OB=6，OC=8，
（1）求BC和OF的長；
（2）求證：E、O、G三點共線；
（3）小葉從第（1）小題的計算中發現：等式

1

OF2

=

1

OB2

+

1

OC2

成立，于是她得到這樣的結論：
如圖（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，設BC=a，AC=b，CD=h，則有等式

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

成立．請你判斷小葉的結論是否正確，若正確，請給予證明，若不正確，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質可得出BO，CO分別平分∠ABC，∠BCD，結合平行線的性質可得出∠BOC=90°，利用勾股定理可求出BC的長，根據△BOC面積的兩種表達形式可求出OF；
（2）連接OE、OG，根據切線的性質可得∠BEO=∠BFO=90°，∠BOE=∠BOF，∠COG=∠COF，然后得出∠EOG=180°即可得出結論；
（3）由tan∠CAB=

a

b

=

h

b2-h2

，然后將等式兩邊平方變形即可得出結論．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于點E，F，G，
∴BO，CO分別平分∠ABC，∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
又∵在Rt△BOC中，∠BOC=90°，OB=6，OC=8，
∴BC=

OB2+OC2

=10，
∴S△BOC=

1

2

BC•OF=

1

2

BO•CO，
即：10×OF=6×8，
解得：OF=4.8．
（2）連接OE，OG，

∵BO分別平分∠ABC，
∴∠EBO=∠FBO，
又∵AB，BC分別與⊙O相切于點E，F，
∴∠BEO=∠BFO=90°，∠BOE=∠BOF，
同理：∠COG=∠COF，
∵∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠EOG=∠EOB+∠BOF+∠COF+∠COG=180°，
∴E，O，G三點共線．
（3）等式2成立．
理由如下：
∵tan∠CAB=

a

b

=

h

b2-h2

，
∴

a2

b2

=

h2

b2-h2

，
∴a²b²=（a²+b²）h²，
∴

a2b2

a2b2h2

=

(a2+b2)h2

a2b2h2

，
即可得：

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

點評：此題屬于圓的綜合題目，涉及了切線的性質、三角函數及等式的變形，第二問的關鍵是掌握三點一線需滿足的條件，第三問的解答有一定技巧，可以通過靈活變形得出答案，也可以利用相似三角形的知識，分別表示出a²、b²、h²，從而得出結論．