Question

【題目】如圖1，正方形OABC的邊長為12，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，雙曲線y＝（x＞0）與邊BC、AD分別交于點D、E，且BD＝AE.

（1）求k的值；

（2）如圖2，若點N為雙曲線y＝上正方形OABC內部一動點，過點N作y軸的垂線，交AC于點F，交AB于點G，過點F作x軸的垂線交為雙曲線y＝于點M.設點N的縱坐標為n

①若n＝8，求證：△BMN是直角三角形；

②若去掉①中的條件 “n＝8”， △BMN是否仍為直角三角形？請證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）;（2）①證明見解析; ②△BMN仍為是直角三角形，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）設BD=AD=a，表示出E,D兩點的坐標，根據兩點都在雙曲線上，即可求得k的值；(2)分別求出BM、BN、MN的長度，根據勾股定理得逆定理即可證得；（3）用含n的代數式表示出GM、MB、DE、BD的長度，根據正切相等得到∠GBM=∠EBD，再根據∠EBD+∠CBE=90°即可證出.

試題解析：

（1）設BD=AD=a，則E(12,a),D(12-a,12),

∵雙曲線y＝（x＞0）與邊BC、AD分別交于點D、E，

∴,

解得：

綜上，k的值是72.

（2）①在△BMN中，

BM，BN，

MN，

∵MN2=BM2+BN2，

∴△BMN是直角三角形

②△BMN仍為是直角三角形，理由如下：

點N的坐標為（，n）,F（12-n，n），M(12-n， )

則 GM=,MB=n,DE=,BD=12-n,

在△BED中， ，

在△BDE中， ，

∴∠GBM=∠EBD,

∵∠EBD+∠CBE=90°,

∴∠GBM+∠CBE=90°,

∴△BMN仍為是直角三角形.

點睛: 本題是反比例函數的綜合題，考查了正方形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，待定系數法的應用以及解直角三角形的應用等．