Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-2，0）、B（4，3）兩點，且當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，經過點C（0，-2）的直線l與x軸平行．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若D是直線l上的一個動點，求使△DAB的周長最小時點D的坐標；
（3）以這條拋物線上的任意一點P為圓心，PO的長為半徑作⊙P，試判斷⊙P與直線l的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，所以b=0，假設出解析式為y=ax²+c，進而利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）利用軸對稱得出D點位置，進而求出直線A′B的解析式，即可求出D點坐標；
（3）首先求出圓的半徑PO，進而得出點P到直線l的距離，進而得出⊙P與直線l的位置關系即可．
解答：解：（1）因為當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，所以b=0．
把x=-2，y=0；x=4，y=3，代入y=ax²+c，得：
，
解得，
所以這條拋物線的解析式為．

（2）作點A（-2，0）關于直線l的對稱點A′（-2，-4），
如圖，連接A′B交直線l于點D，此時△DAB的周長最小．
設直線A′B的解析式為y=kx+m，把x=-2，y=-4；x=4，y=3，代入y=kx+m，得：
，
解得，
所以直線A′B的解析式為，
利用直線A′B于l相交，則-2=x-，
解得：x=-，
故點D的坐標．

（3）⊙P與直線l相切．
設拋物線上任意一點P的坐標為，則
PO=，
點P到直線l的距離=，
所以點P到直線l的距離=⊙P的半徑PO，
所以⊙P與直線l相切．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及切線的判定、待定系數法求一次、二次函數解析式等知識，利用軸對稱得出D點位置是解題關鍵．