Question

如圖，已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線(xiàn)和一條曲線(xiàn)，這條直線(xiàn)和x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且OA=OB=1，這條曲線(xiàn)是函數(shù)y=的圖象在第一限內(nèi)的一個(gè)分支，點(diǎn)P是這條曲線(xiàn)的任意一點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（a，b），由點(diǎn)P向x軸、y軸所作的垂線(xiàn)PM、PN（點(diǎn)M、N為垂足）分別與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)E和F．
（1）求△OEF的面積（a，b的代數(shù)式表示）；
（2）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請(qǐng)證明；如果不一定相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在曲線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，△OEF隨之變動(dòng)，指出在△OEF的三個(gè)內(nèi)角中，是否有大小始終保持不變的角？若有，請(qǐng)求出其大小；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，易知：直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+1，
點(diǎn)E的坐標(biāo)是（a，1-a），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1-b，b），
當(dāng)PM、PN與線(xiàn)段AB都相交時(shí)，如圖1，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△AOE-S_△BOF
=
=，
當(dāng)PM、PN中有一條與AB相交，另一條與BA延長(zhǎng)線(xiàn)或AB延長(zhǎng)線(xiàn)相交時(shí)，如圖2和圖3，
∴S_△EOF=S_△FOA+S_△AOE=×1×b+×1×（a-1）=，
∴S_△EOF=S_△FOB+S_△BOE=，
即S_△EOF=；

（2）△AOF和△BEO一定相似．
∵如圖1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=，
AF=BA-BF=，
∵點(diǎn)P是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，
∴，即2ab=1，
∴a×b=1即，AF•BE=OB•OA，
∴，
∴△AOF∽△BEO，
∵對(duì)圖2，圖3同理可證，
∴△AOF∽△BEO；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在曲線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（2）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如圖1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
對(duì)圖2，圖3同理可證，
∴∠EOF=45°．
分析：（1）欲求△OEF的面積，只要求出E、F坐標(biāo)即可．根據(jù)矩形性質(zhì)、直線(xiàn)AB解析式容易求出；
（2）根據(jù)題意易知∠A=∠B，要證△AOF與△BOE相似，只證夾邊對(duì)應(yīng)成比例即可；
（3）應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)外角關(guān)系可求∠EOF=45°是一定值，即解．
點(diǎn)評(píng)：此題難度中等，考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)判定．同學(xué)們只有熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)，才能正確的解答．