Question

【題目】(2016山西省第19題）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：

阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希臘）是有史以來最偉大的數學家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子．

阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據Al-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．

阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．

下面是運用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程．

證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M是的中點， ∴MA=MC ．．．

任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）填空：如圖（3），已知等邊△ABC內接于，AB=2，D為上一點， ，AE⊥BD與點E，則△BDC的長是 ．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、2+2

【解析】

試題分析：(1)、已截取CG=AB ∴只需證明BD=DG，且MD⊥BC，所以需證明MB=MG，故證明△MBA≌△MGC即可；(2)、AB=2，利用三角函數可得BE=，由阿基米德折弦定理可得BE=DE+DC，則△BDC周長=BC+CD+BD=BC+DC+DE+BE=BC+（DC+DE）+BE=BC+BE+BE=BC+2BE，然后代入計算可得答案

試題解析：(1)、又∵， ∴ △MBA≌△MGC． ∴MB=MG．

又∵MD⊥BC，∵BD=GD． ∴CD=CG+GD=AB+BD．

(2)、 ．