Question

如圖，已知二次函數的圖象經過點A（3，3）、B（4，0）和原點O．P為二次函數圖象上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點C．
（1）求出二次函數的解析式；
（2）當點P在直線OA的上方時，求線段PC的最大值；
（3）當m＞0時，探索是否存在點P，使得△PCO為等腰三角形，如果存在，求出P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設y=ax（x-4），把A點坐標代入即可求出答案；
（2）根據點的坐標求出PC=-m²+3m，化成頂點式即可求出線段PC的最大值；
（3）當0＜m＜3時，僅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；當m≥3時，PC=CD-PD=m²-3m，OC=

2

m，分為三種情況：①當OC=PC時，m2-3m=

2

m，求出方程的解即可得到P的坐標；同理可求：②當OC=OP時，③當PC=OP時，點P的坐標．綜合上述即可得到答案．

解答：解：（1）設y=ax（x-4），
把A點坐標（3，3）代入得：
a=-1，
函數的解析式為y=-x²+4x，
答：二次函數的解析式是y=-x²+4x．

（2）解：0＜m＜3，PC=PD-CD，
∵D（m，0），PD⊥x軸，P在y=-x²+4x上，C在OA上，A（3，3），
∴P（m，-m²+4m），C（m，m）
∴PC=PD-CD=-m²+4m-m=-m²+3m，
=-(m-

3

2

)2+

9

4

，
∵-1＜0，開口向下，
∴有最大值，
當D（

3

2

，0）時，PC_max=

9

4

，
答：當點P在直線OA的上方時，線段PC的最大值是

9

4

．

（3）當0＜m＜3時，僅有OC=PC，
∴-m2+3m=

2

m，
解得m=3-

2

，
∴P(3-

2

，1+2

2

)；
當m≥3時，PC=CD-PD=m²-3m，
OC=

2

m，
由勾股定理得：OP²=OD²+DP²=m²+m²（m-4）²，
①當OC=PC時，m2-3m=

2

m，
解得：m=3+

2

或m=0（舍去），
∴P(3+

2

，1-2

2

)；
②當OC=OP時，(

2

m)2=m2+m2(m-4)2，
解得：m₁=5，m₂=3，
∵m=3時，P和A重合，即P和C重合，不能組成三角形POC，
∴m=3舍去，
∴P（5，-5）；
③當PC=OP時，m²（m-3）²=m²+m²（m-4）²，
解得：m=4，
∴P（4，0），
答：存在，P的坐標是（3-

2

，1+2

2

）或（3+

2

，1-2

2

）或（5，-5）或（4，0）．

點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，等腰三角形的性質，勾股定理，二次函數的最值等知識點的理解和掌握，用的數學思想是分類討論思想，此題是一個綜合性比較強的題目，（3）小題有一定的難度．