Question

如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=60°，P是OB上一點，過P作AB的垂線與AC的延長線交于點Q，過點C的切線CD交PQ于D，連接OC．
（1）求證：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．

Answer 1

（1）證明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°；
∵CD是⊙O的切線，CO是半徑，
∴CD⊥CO，
∴∠DCQ=∠BCO=30°，
∴∠DCQ=∠Q，
故△CDQ是等腰三角形．

（2）設(shè)⊙O的半徑為1，則AB=2，OC=1，BC=

3

．
∵等腰三角形CDQ與等腰三角形COB全等，
∴CQ=BC=

3

．
∴AQ=AC+CQ=1+

3

，
∴AP=

1

2

AQ=

1+ 3

2

，
∴BP=AB-AP=

3- 3

2

，
∴PO=AP-AO=

3 -1

2

，
∴BP：PO=

3

．