Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，過點B作⊙O的切線DE，F為射線BD上一點，連接CF．
（1）求證：∠CBE=∠A；
（2）若⊙O的直徑為5，BF=2，tanA=2，求CF的長．

Answer 1

【答案】證明：（1）如圖，連接BO并延長交⊙O于點M，連接MC，

∴∠A=∠M，∠MCB=90°，
∴∠M+∠MBC=90°，
∵DE是⊙O的切線，
∴∠CBE+∠MBC=90°，
∴∠CBE=∠M，
∴∠CBE=∠A；
（2）解：過點C作CN⊥DE于點N，
∴∠CNF=90°，
由（1）得，∠M=∠CBE=∠A，
∴tanM=tan∠CBE=tanA=2，
在Rt△BCM中，
∵BM=5，tanM=2，
∴，
在Rt△CNB中，
∵,，
∴CN=4，BN=2，
∵BF=2，
∴FN=BF+BN=4，
在Rt△FNC中，
∵FN=4，CN=4，
∴．
【解析】（1）連接BO并延長交⊙O于點M，連接MC，根據圓周角定理求出∠A=∠M，∠MCB=90°，求出∠M+∠MBC=90°，根據切線性質求出∠CBE+∠MBC=90°，推出∠CBE=∠M即可；
（2）過點C作CN⊥DE于點N，求出∠CNF=90°，求出tanM=tan∠CBE=tanA=2，解直角三角形求出BC、CN、BN，求出FN，根據勾股定理求出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．