Question

如圖，點D在反比例函數（ k＞0）上，點C在x軸的正半軸上且坐標為（4，0），△ODC是以CO為斜邊的等腰直角三角形．

（1）求點D的坐標；
（2）求反比例函數的解析式；
（3）點B為橫坐標為1的反比例函數圖象上的一點，BA、BE分別垂直x軸和y軸，垂足分別為點A和點E，連結OB，將四邊形OABE沿OB折疊，使A點落在點A′處，A′B與y軸交于點F．求直線BA′的解析式．

Answer 1

解：（1）過D作DG⊥x軸，交x軸于點G，
∵△ODC為等腰直角三角形，
∴G為OC的中點，即DG為斜邊上的中線，
∴DG=OG=OC=2，
∴D（2，2），

（2）代入反比例解析式得：2=，即k=4，
則反比例解析式為y=；

（3）∵點B是y=上一點，B的橫坐標為1，
∴y==4，
∴B（1，4），
由折疊可知：△BOA′≌△BOA，
∵OA=1，AB=4，
∴BE=A′O=1，OE=BA′=4，
又∵∠OAB=90°，∠A′FO=∠BFE，
∴∠BA′O=∠OEB=90°，
∴△OA′F≌△BFE（AAS），
∴A′F=EF，
∵OE=EF+OF=4，
∴A′F+OF=4，
在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′²+A′F²=OF²，
設OF=x，則A′F=4-x，
∴1²+（4-x）²=x²，
∴x=，
∴OF=，即F（0，），
設直線BA′解析式為y=kx+b，
將B（1，4）與F（0，）坐標代入，
得：，
解得：，
則線BA′解析式為．
分析：（1）過D作DG⊥x軸，交x軸于點G，由三角形ODC為等腰直角三角形，利用三線合一得到G為OC的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出DG與OG的長，確定出D坐標；
（2）代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（3）將B的橫坐標1代入反比例解析式中求出y的值，確定出B的縱坐標，由折疊的性質得到△BOA′≌△BOA，即為BA與BA′的長相等，再利用AAS得出△OA′F≌△BFE，利用全等三角形對應邊相等得到A′F=EF，由OE=EF+OF=4，得到A′F+OF=4，在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′²+A′F²=OF²，設OF=x，則A′F=4-x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OF的長，進而得出F的坐標，設直線A′B的解析式為y=kx+b，將B與F的坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線A′B的解析式；
點評：此題考查了反比例綜合題，涉及的知識有：折疊的性質，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，坐標與圖形性質，勾股定理，以及全等三角形的判定與性質，是一道綜合性較強的壓軸題．