Question

【題目】(1)如圖，已知點(diǎn)A、B在雙曲線（x>0）上，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，AC與BD交于點(diǎn)P，P是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為b．A與B的坐標(biāo)分別為_____、______(用b與k表示)，由此可以猜想AP與CP的數(shù)量關(guān)系是______.

(2)四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y與y的圖象上，對(duì)角線BD∥y軸，且BD⊥AC于點(diǎn)P，P是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4．

①當(dāng)時(shí)，判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由.

②四邊形ABCD能否成為正方形？若能，直接寫出此時(shí)m，n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】，相等；(2)①菱形，理由見解析；②m+n=32.

【解析】

（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得B點(diǎn)坐標(biāo)，可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，由P為AC中點(diǎn)可得PA=PC及點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可得A的橫坐標(biāo)，即可得點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）①由B點(diǎn)橫坐標(biāo)可得B點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，代入y=可得D點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)P為BD中點(diǎn)可得點(diǎn)P坐標(biāo)，把P點(diǎn)縱坐標(biāo)代入y=和y=可得A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出PA、PC的長，根據(jù)對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形即可得答案；②先確定B（4，），D（4，），即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得A、C坐標(biāo)，根據(jù)AC=BD即可得m、n之間的數(shù)量關(guān)系.

（1）∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為b，

∴y=，即B（b，），

∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，AC、BD交于點(diǎn)P，

∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，

∴AP=PC，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)A在圖象上，

∴=，

解得：x=，

∴A（，）.

故答案為：（，），（b，），相等.

(2)①四邊形ABCD為菱形，理由如下：

∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，m=4，n=20，

∴yB==1，yD==5，

∴B（4，1），D（4，5），

∵P是BD中點(diǎn)，

∴P(4，3)，

∴點(diǎn)A、C的縱坐標(biāo)為3，

∴3=，3=，

解得：xA=，xC=，

∴A，

∴PA=4-=，PC=-4=，

∴PA=PC

∵PB=PD，BD⊥AC，

∴四邊形ABCD為菱形

(3)∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，

∴B（4，），D（4，），

∵點(diǎn)P為BD中點(diǎn)，

∴P（4，），

∴A（，），C（，），

∵ABCD是正方形，

∴AC=BD，即-=-，

∴m+n=32.