Question

（2012•湘潭）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使B點與C點重合，得到△DCE，連接BD，交AC于F．
（1）猜想AC與BD的位置關系，并證明你的結論；
（2）求線段BD的長．

Answer 1

分析：（1）由平移的性質可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出結論；
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的長．

解答：解：（1）AC⊥BD．
∵△DCE由△ABC平移而成，
∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，
∴DE=

1

2

BE，
∴BD⊥DE，
又∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC∥DE，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BF是邊AC的中線，
∴BD⊥AC，BD與AC互相垂直平分；

（2）∵由（1）知，AC∥DE，BD⊥AC，
∴△BED是直角三角形，
∵BE=6，DE=3，
∴BD=

BE2-DE2

=

62-32

=3

3

．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質及平移的性質，熟知圖形平移后的圖形與原圖形全等的性質是解答此題的關鍵．