Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為邊AB中點，點E、F分別在射線CA、BC上，且AE=CF，連結EF．
猜想：如圖①，當點E、F分別在邊CA和BC上時，線段DE與DF的大小關系為________．
探究：如圖②，當點E、F分別在邊CA、BC的延長線上時，判斷線段DE與DF的大小關系，并加以證明．
應用：如圖②，若DE=4，利用探究得到的結論，求△DEF的面積．

Answer 1

【答案】猜想：DE=DF．
如圖1，連結CD，

∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAD=45°，
∵D為邊AB的中點，
∴CD=AD，∠BCD= ∠ACB=45°，
∴∠EAD=∠FCD，
在△AED和△CFD中

∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，
故答案為：DE=DF；
探究：DE=DF，證明如下：
如圖2，連接CD，

∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAD=45°，
∵D為AB中點，
∴AD=CD，∠BCD= ∠ACB=45°，
∵∠CAD+∠EAD=∠BCD+∠FCD=180°，
∴∠EAD=∠FCD=135°，
在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF；
應用：
∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADC=90°，
∴∠EDF=90°，
∵DE=DF=4，
∴S△DEF= DE2= ×42=8．
【解析】猜想：連接CD，可證明△ADE≌△CFD，可得出結論；探究：連接CD，同（1）可證明△ADE≌△CFD，可證得DE=DF；應用：由△ADE≌△CFD可證得∠EDF=90°，容易求得△DEF的面積．
【考點精析】本題主要考查了全等三角形的性質的相關知識點，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等才能正確解答此題．