Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O作BD的垂線與邊AD，BC分別交于點E，F，連接BE交AC于點K，連接DF．

（1）求證：四邊形EBFD是菱形；

（2）若BK=3EK，AE=4，求四邊形EBFD的周長．

Answer 1

【答案】見解析；32

【解析】

（1）四邊形ABCD是平行四邊形，可以證明△DEO≌△BFO，可得OE=OF，從而四邊形EBFD是平行四邊形，根據EF⊥BD，進而可得平行四邊形EBFD是菱形；

（2）證明△AEK∽△CBK，對應邊成比例可得BC=12，進而求出DE的長，可得菱形的周長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠EDO=∠FBO，

OB=OD，

∠EOF=∠FOB，

∴△DEO≌△BFO（ASA），

∴OE=OF，

∴四邊形EBFD是平行四邊形，

∵EF⊥BD，

∴平行四邊形EBFD是菱形；

（2）∵AE∥BC，

∴△AEK∽△CBK，

∴，

∵BK=3EK，AE=4，

∴，

∴BC=12，

∴AD=BC=DE+AE=DE+4=12

∴DE=8，

∴菱形EBFD的周長為4DE=32．

答：四邊形EBFD的周長為32．