Question

如圖，⊙O的直徑AB=10，CD是⊙O的弦，AC與BD相交于點P．
（1）判斷△APB與△DPC是否相似？并說明理由；
（2）設∠BPC=α，如果sinα是方程5x²-13x+6=0的根，求cosα的值；
（3）在（2）的條件下，求弦CD的長？

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理，可得出△CPD和△BPA的兩組對應角相等，由此可判定兩個三角形相似；
（2）通過解方程可求出sinα的值（注意sinα的取值范圍），進而可得出cosα的值；
（3）若連接BC，則∠ACB=90°，△BPC是直角三角形；根據cosα的值，即可求出PC、BC的比例關系式，根據（1）的相似三角形可得出CD：AB=CP：BP=cosα，由此可求出弦CD的長．

解答：解：（1）相似；
∵∠A=∠D，∠APB=∠DPC
∴△APB∽△DPC；

（2）連接BC．
∵AB在直徑，
∴AC⊥BC，
∴∠PCB為直角，
∵5x²-13x+6=0，
∴（x-2）（5x-3）=0；
解得：x₁=2（不符合題意），x₂=

3

5

；
∴sinα=

3

5

，∴cosα=

4

5

；

（3）在（2）成立的條件下，得：cosα=

4

5

．
∵AB在直徑，
∴AC⊥BC，
∴

PC

PB

=cosα=

4

5

，
又∵

CD

AB

=

PC

PB

，AB=10，
∴

CD

10

=

4

5

，
∴CD=8．

點評：此題考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質、一元二次方程的解法、銳角三角函數的定義等知識．