Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點H，AC的延長線與過點B的直線相交于點E，且∠A=∠EBC．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）已知CG∥EB，且CG與BD、BA分別相交于點F、G，若BGBA=48，FG= ，DF=2BF，求AH的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接CD，

∵BD是直徑，

∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，

∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，

∴∠CBD+∠EBC=90°，

∴BE⊥BD，

∴BE是⊙O切線．

（2）

解：∵CG∥EB，

∴∠BCG=∠EBC，

∴∠A=∠BCG，

∵∠CBG=∠ABC

∴△ABC∽△CBG，

∴ ，即BC2=BGBA=48，

∴BC=4 ，

∵CG∥EB，

∴CF⊥BD，

∴△BFC∽△BCD，

∴BC2=BFBD，

∵DF=2BF，

∴BF=4，

在RT△BCF中，CF= =4 ，

∴CG=CF+FG=5 ，

在RT△BFG中，BG= =3 ，

∵BGBA=48，

∴ 即AG=5 ，

∴CG=AG，

∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，

∴∠CHF=∠CBF，

∴CH=CB=4 ，

∵△ABC∽△CBG，

∴ ，

∴AC= ，

∴AH=AC﹣CH= ．

【解析】（1）欲證明BE是⊙O的切線，只要證明∠EBD=90°．
　　　　（2）由△ABC∽△CBG，得 = 求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2=BFBD求出BF，CF，CG，GB，再通過計算發現CG=AG，進而可以證明CH=CB，求出AC即可解決問題．本題考查切線的判定、圓的有關知識、相似三角形的判定和性質、勾股定理．等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是巧妙利用相似三角形的性質解決問題，屬于中考壓軸題．