Question

【題目】如圖，在ABCD中，各內角的平分線分別相交于點E，F，G，H．

（1）求證：△ABG≌△CDE；

（2）猜一猜：四邊形EFGH是什么樣的特殊四邊形？證明你的猜想；

（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）矩形；（3）．

【解析】試題分析：（1）根據角平分線的定義以及平行四邊形的性質，即可得到AB=CD，∠BAG=∠DCE，∠ABG=∠CDE，進而判定△ABG≌△CDE；

（2）根據角平分線的定義以及平行四邊形的性質，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，進而判定四邊形EFGH是矩形；

（3）根據含30°角的直角三角形的性質，得到BG，AG，BF，CF，進而得出EF和GF的長，可得四邊形EFGH的面積．

試題解析：解：（1）∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，∴∠BAG=∠BAD，∠DCE=∠DCB，∵ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，∴∠BAG=∠DCE，同理可得，∠ABG=∠CDE，在△ABG和△CDE中，∵∠BAG=∠DCE，AB=CD，∠ABG=∠CDE，∴△ABG≌△CDE（ASA）；

（2）四邊形EFGH是矩形．

證明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB=∠BAD，∠GBA=∠ABC，∵ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA=（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四邊形EFGH是矩形；

（3）依題意得，∠BAG=∠BAD=30°，∵AB=6，∴BG=AB=3，AG==CE，∵BC=4，∠BCF=∠BCD=30°，∴BF=BC=2，CF=，∴EF=﹣=，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面積=EF×GF=．